Power Spectrum Estimation Methods Advanced Signal Processing Toolkit. En effektspektrum beskriver energidistribusjonen av en tidsserie i frekvensdomenet. Energi er en virkelig verdsatt mengde, slik at strømspektret ikke inneholder faseinformasjon, fordi en tidsserie kan inneholde ikke-periodiske eller asynkront samplede periodiske signalkomponenter, er strømspektret til en tidsserie vanligvis ansett for å være en kontinuerlig funksjon av frekvens. Når du bruker en rekke diskrete frekvensbakker for å representere den kontinuerlige frekvensen, er verdien ved en bestemt frekvensboks proporsjonal med frekvensintervallet For å fjerne avhengigheten av størrelsen på frekvensintervallet, kan du normalisere effektspekteret for å produsere strømspektral tetthet PSD, som er effektspektrum dividert med størrelsen på frekvensintervallet. PSD måler signalet per enhet båndbredde for en tidsserie i V 2 Hz, som implisitt antar at PSD representerer et signal i volt som driver en 1 ohm belastning Hvis PSD er representert i en decibel dB, er den tilsvarende enheten for PSD dB ref V sqrt Hz Hvis du vil bruke andre enheter til den estimerte PSD for en tidsserie, må du skala tidsenheten serie i passende tekniske enheter EU Etter å ha skalkret enhetene i tidsseriene, kan du få den tilsvarende enheten for den lineære PSD-verdien og dB PSD-verdien som EU 2 Hz og dB ref EU kvadrat Hz Bruk henholdsvis TSA-skalaen til EU VI å skala enheten til en tidsserie til passende EU. PSD estimeringsmetoder er klassifisert som følger. Parametriske metoder Disse metodene er basert på parametriske modeller av en tidsserie, for eksempel AR-modeller, bevegelige gjennomsnittlige MA-modeller og autoregressive bevegelige gjennomsnittlige ARMA modeller Derfor er parametriske metoder også kjent som modellbaserte metoder. For å estimere PSD av en tidsserie med parametriske metoder, må du først oppnå modellparametrene til tidsseriene først. Du må bygge en passende modell som gjenspeiler e-oppførsel av systemet som genererer tidsseriene ellers, kan den estimerte PSD kanskje ikke være pålitelig. MUSIC-metoden med flere signalklassifiseringer er også en modellbasert spektralestimeringsmetode. Parametriske metoder Disse metodene, som inkluderer periodogrammetoden Welch-metoden og Capon Metoden er basert på den diskrete Fourier-transformasjonen. Du trenger ikke å skaffe parametrene til tidsseriene før du bruker disse metodene. Hovedbegrensningen av ikke-parametriske metoder er at beregningen bruker datavinduering som resulterer i forvrengning av de resulterende PSDene på grunn av vindueffekter. Hovedfordelen ved ikke-parametriske metoder er robustheten de estimerte PSDene ikke inneholder falske frekvenstopper. I motsetning til parametriske metoder bruker ikke datavinduer Parametriske metoder antar at et signal passer til en bestemt modell De estimerte PSDene kan inneholde falske frekvenstopper hvis den antatte modellen er feil PSD estimert med parametriske metoder er mindre partisk og har lavere variasjon NCE enn PSD estimert med nonparametriske metoder hvis den antatte modellen er korrekt. Imidlertid er størrelsen på PSDs estimert med parametriske metoder vanligvis feil. Merknad Under spektralanalyse kan du gjennomsnittlige suksessive spektrummålinger for å redusere estimeringsavvik og forbedre måle nøyaktighet. Bruk TSA-gjennomsnittet PSD VI til gjennomsnittlig estimert spektrum kontinuerlig.12 1 Estimering av spektral tetthet. Vi diskuterte tidligere periodogrammet, en funksjonsgraf som viser informasjon om periodiske komponenter i en tidsserie. Eventuelle tidsserier kan uttrykkes som summen av cosinus og sinusbølger oscillerende ved de fundamentale harmoniske frekvensene jn med j 1, 2, n 2 Periodogrammet gir informasjon om de relative frekvensene for de ulike frekvensene for å forklare variasjonen i tidsseriene. Periodogrammet er et utvalgsestimat av en populasjonsfunksjon kalt spektral tetthet, som er en frekvensdomæne karakterisering av en befolkning stasjonær t Ime-serien Spektral tettheten er en frekvensdomenrepresentasjon av en tidsserie som er direkte relatert til autokovarians-tidsdomene-representasjonen. I hovedsak inneholder spektraldensiteten og autokovariansfunksjonen den samme informasjonen, men uttrykker den på forskjellige måter. Gjennomgang Merk Autokovariansen er telleren til autokorrelasjonen Autokorrelasjonen er autokovariansen delt av variansen. Anta at h er autokovariansfunksjonen til en stasjonær prosess, og at f er spektral tettheten for samme prosess. I notasjonen til foregående setning, h tidsforsinkelse og frekvens. Autokovarians og spektral tetthet har følgende forhold. På språket av avansert beregning er autokovarians og spektral tetthet Fourier transformasjonspar. Vi har ikke vret på å bekymre seg om beregningen av situasjonen. Vi vil fokusere på estimeringen av spektral tettheten frekvensdomene karakterisering av en serie Fourier transform transformasjonene er bare gitt her for å fastslå at det er en direkte kobling mellom tidsdomene representasjon og frekvens domene representasjon av en serie. Matematisk er spektral tettheten definert for både negative og positive frekvenser Men på grunn av symmetri av funksjonen og dens repea ting mønster for frekvenser utenfor området -1 2 til 1 2, trenger vi bare å være opptatt av frekvenser mellom 0 og 1 2. Den totale integrerte spektraldensiteten er lik variansen i serien. Således kan spektral tettheten innenfor et bestemt frekvensintervall betraktes som mengden av variansen forklart av disse frekvensene. Metoder for estimering av spektral tetthet. Rå periodogrammet er et grovt utvalgsestimat av populasjonsspektraldensiteten. Estimatet er grovt, delvis fordi vi bare bruker de diskrete grunnleggende harmoniske frekvensene for periodogrammet mens spektral tettheten er definert over en kontinuitet av frekvenser. En mulig forbedring av periodogrammet estimatet av spektral tettheten er å glatte det ved å bruke sentrert glidende gjennomsnitt. En ytterligere utjevning kan opprettes ved hjelp av taperende metoder som vekter endene i tide av serien mindre enn sentrum av dataene Vi vil ikke dekke tapering i denne leksjonen Interesserte parter kan se Seksjon 4 5 i boken og ulike Internett-kilder. En alternativ tilnærming til utjevning av periodogrammet er en parametrisk estimeringsmetode basert på det faktum at en hvilken som helst stasjonær tidsserie kan tilnærmet av en AR-modell av noen rekkefølge, selv om det kan være en høy ordre. I denne tilnærmingen passende AR-modell er funnet, og deretter spektral tettheten er estimert som spektral tetthet for den estimerte AR-modellen. Utmattelse Metode Nonparametric Estimering av spektral tetthet. Den vanlige metoden for å jevne ut et periodogram har et så fint navn som det høres vanskelig. Faktisk , er det bare en sentrert glidende gjennomsnittlig prosedyre med noen mulige modifikasjoner. For en tidsserie er Daniell-kjernen med parameter m et sentrert glidende gjennomsnitt som skaper en glatt verdi ved tid t ved å beregne alle verdier mellom tidene tm og tm inklusive. For eksempel , utjevningsformelen for en Daniell-kjerne med m 2 er. I R kan vektningskoeffisientene for en Daniell-kjerne med m 2 genereres med kommandoen og kjernen daniell, 2 Resultatet er. no -2 0 2 coef -1 0 2 coef 0 0 2 coef 1 0 2 coef 2 0 2.The subscripts for coef refererer til tidsforskjellen fra midten av gjennomsnittet på tidspunktet t Således er utjevningsformelen i dette tilfellet den som er den samme som formelen gitt ovenfor. Modifisert Daniell-kjernen er slik at de to endepoengene i gjennomsnittet mottar halv vekten som interiøret poeng gjør For en modifisert Daniell-kjerne med m 2, utjevningen er. I R vil kommandoen 2 angi vektningskoeffisientene som benyttes. Hverken Daniell-kjernen eller den modifiserte Daniell-kjernen kan vikles sammen, slik at utjevningen blir påført igjen til de jevne verdiene. Dette gir en mer omfattende utjevning ved gjennomsnittlig over et bredere tidsintervall For eksempel å gjenta en Daniell-kjerne med m 2 på de glattede verdiene som resulterte fra en Daniell-kjerne med m 2, ville formelen være. Dette er gjennomsnittet av de glattede verdiene innen to tidsperioder t i begge retninger. I R , vil kommandokjernen daniell, c 2,2, gi koeffisientene som ville bli brukt som vekt i gjennomsnitt av de opprinnelige dataverdiene for en sammenviklet Daniell-kjerne med m 2 i begge smoothings Resultatet er. kernel daniell, c 2,2 coef -4 0 04 coef -3 0 08 coef -2 0 12 coef -1 0 16 coef 0 0 20 coef 1 0 16 coef 2 0 12 coef 3 0 08 coef 4 0 04. Dette genererer utjevningsformelen. En konvolusjon av Modifisert metode der sluttpunktene har mindre vekt er også mulig. Kommandoen gir disse koeffisientene. 0-4 0 01563 coef -3 0 06250 coef -2 0 12500 coef -1 0 18750 coef 0 0 21875 coef 1 0 18750 coef 2 0 12500 coef 3 0 06250 coef 4 0 01563.To sentrumsverdiene vektes litt tyngre enn i den umodifiserte Daniell-kjernen. Når vi glirer et periodogram, glir vi over et frekvensintervall i stedet for et tidsintervall. Husk at periodogrammet er bestemt ved de grunnleggende frekvensene jjn for j 1, 2, n 2 La jeg j angi periodogramverdien ved frekvens ency jjn Når vi bruker en Daniell-kjerne med parameter m for å jevne et periodogram, er den glatte verdihatten omegaj et vektet gjennomsnitt av periodogramverdier for frekvenser i området jm n til jm n. Det er L 2 m 1 grunnfrekvensverdier i rekkevidde jm n til jmn rekkevidden av verdier som brukes til utjevning Båndbredden for det jevne periodogrammet er definert som. Båndbredden er et mål på bredden på frekvensintervallet s som brukes til å jevne ut periodogrammet. Når ulikvekt brukes i utjevning, båndbreddedefinisjonen er endret. Angi den jevne periodogramverdien ved jjn som. hatten omegaj summen hk Jeg forlot omegaj frac right. The hk er muligens ulik vekter brukt i utjevning Båndbreddeformelen blir deretter modifisert til. Denne formelen fungerer også for likevekt. Båndbredden skal være tilstrekkelig til å jevne ut vårt estimat, men hvis vi bruker en båndbredde som er for stor, vil vi glatte ut periodogrammet for mye og savner å se viktige topper. I praksis tar det vanligvis noen eksperimenter for å finne båndbredden som gir en passende utjevning. Båndbredden styres hovedsakelig av antall verdier som er i gjennomsnitt i utjevning Med andre ord, m-parameteren for Daniell-kjernen og om kjernen er innviklet gjentatt, påvirker båndbredden. Merk Båndbreddene R rapporterer med sine plott, ikke matcher verdiene som skal beregnes ved hjelp av formlene ovenfor Vennligst se fotnoten på s. 197 av teksten din for en forklaring. Gjennomføring av utjevning periodogrammet med en Daniell-kjerne kan oppnås i R ved hjelp av en sekvens av to comm ands Den første definerer en Daniell-kjerne og den andre skaper det jevne periodogrammet. Som et eksempel, anta at den observerte serien heter x og vi ønsker å jevne periodogrammet ved hjelp av en Daniell-kjerne med m 4 Kommandoene er. k kjernen daniell, 4 k, taper 0, log no. The første kommando skaper vektningskoeffisientene som trengs for utjevning og lagrer dem i en vektor kalt k Det er tilfeldig å kalle det k Det kan kalles noe Den andre kommandoen ber om et spektral tetthets estimat basert på periodogrammet for serien x ved hjelp av vektningskoeffisientene lagret i k, uten tap og plottet vil være på vanlig skala, ikke en loggskala. Hvis en konvolusjon er ønsket, kan kjernekommandoen bli endret til noe som k-kjernen daniell, c 4,4. Det er to mulige måter å oppnå en modifisert Daniell-kjerne på. Du kan enten endre kjernekommandoen for å referere til snarere enn daniell, eller du kan hoppe over kjernekommandoen og bruke en spansparameter i kommandoen. s panseparameter gir lengden 2 m 1 av ønsket modifiserte Daniell-kjernen. For eksempel har en modifisert Daniell-kjerne med m 4 lengde L 2 m 1 9 slik at vi kunne bruke kommandoen. strekker seg 9, konisk 0, log no. Two passerer av en modifisert Daniell kjerne med m 4 på hvert pass kan gjøres ved å bruke. spenner over c 9,9, avtapp 0, logg nr. Eksempel Dette eksemplet vil bruke rekrutteringsserien som brukes flere steder i teksten, inkludert flere steder i kapittel 4 Serien består av n 453 månedlige verdier av et mål på et fiskpopulasjon på en sørlig halvkuleplassering Dataene er i filen. Det rå periodogrammet kan opprettes ved hjelp av kommandoen, eller det kan opprettes ved hjelp av metoden gitt i leksjon 6. taper 0, log no. Note som i kommandoen bare gitt oss har utelatt parameteren som gir vekter for utjevning. Det røde periodogrammet følger. Det neste diagrammet er et jevnt periodogram ved bruk av en Daniell-kjerne med m 4. Merk at en utjevning av utjevning er at den dominerende toppen i den ujevne versjonen nå er den nest høyeste topp Dette skjedde fordi toppen er så skarp definert i den ujevne versjonen at når vi gjennomsnittsverdi det med noen omgivende verdier, blir høyden redusert. Den neste plottet er et jevnt periodogram ved bruk av to passerer av en Daniell-kjerne med m 4 på ea ch pass Legg merke til hvordan det er enda mer glatt enn tidligere. For å lære hvor de to dominerende toppene er plassert, tilordne et navn til utgangen, og så kan du liste det. For eksempel. Spesifikasjoner K, avta 0, logg ingen spesifikasjoner. Du kan sive gjennom utgangen for å finne frekvensene hvor toppene forekommer. Frekvensene og spektral tetthets estimatene er oppført separat, men i samme rekkefølge Identifiser maksimale spektraldensiteter og finn de tilsvarende frekvensene. Her er den første toppen ved en frekvens 0229 perioden antall måneder knyttet til denne syklusen 1 0229 43 7 måneder eller ca 44 måneder Den andre toppen forekommer med en frekvens 0 083333 Den tilknyttede perioden 1 08333 12 måneder Den første toppen er forbundet med en El Nino vær-effekt. Den andre er den vanlige 12 måneder sesongmessige effekt. Disse to kommandoene vil sette loddrette stiplede linjer på estimert spektral tetthet plot ved omtrentlige steder av topp tettheter. Linje v 1 44, lilly prikket abline v 1 12, lilly prikket . Her er den resulterende plottet. Vi har jevnet nok, men for demonstrasjonsformål er neste plot et resultat av. spenner over c 13,13, konisk 0, log no. This bruker to passerer av en modifisert Daniell kjerne med lengde L 13 så m 6 hver gang Plottet er litt jevnere, men ikke så mye Toppene er for øvrig i akkurat de samme stedene som i plottet umiddelbart over. Det er definitivt mulig å glatte for mye. Anta at vi skulle bruke en modifisert Daniell-kjerne med total lengde 73 m 36 Kommandoen er. spenner 73, avtak 0, log no. Resultatet følger Toppene er borte. Parametrisk estimering av spektral tetthet. Utjevningsmetoden for spektral tetthets estimering kalles en nonparametrisk metode fordi den ikke bruker noen parametrisk modell for den underliggende tidsserieprosessen En alternativ metode er en parametrisk metode som innebærer å finne den best passende AR-modellen for serien og deretter plotte spektraldensiteten til denne modellen. Denne metoden støttes av en teorem som sier at spektraldensiteten til enhver tidsserieprosess kan tilnærmes av spektral tetthet av en AR-modell av noen rekkefølge, muligens en høy en. I R, er parametrisk estimering av spektral tettheten enkelt gjort med kommandofunksjonen En kommando som log no vil forårsake R for å gjøre alt arbeidet igjen, for å identifisere topper vi kan tildele et navn til resultatene ved å gjøre noe som logg no. For fisken rekruttering eksempel, er følgende plot resultatet Resultatet at tettheten plottet er at en AR 13 modell Vi kan sikkert finne flere parsimoniske ARIMA-modeller for disse dataene. Vi bruker bare spektraldensiteten til modellen til å omtrentliggjøre spektral tettheten til den observerte serien. Utseendet til estimert spektral tetthet er omtrent det samme som før. Den estimerte El Nino peak er ligger på et litt annerledes sted, er frekvensen ca. 0 024 for en syklus på ca. 1 024 ca. 42 måneder. En serie skal de-trender før en spektralanalyse. En trend vil forårsake en så dominerende spektral tetthet ved en lav frekvens som den andre topper vunnet t settes Som standard utfører R-kommandoen en de-trending ved hjelp av en lineær trendmodell. Det vil si at spektraldensiteten estimeres ved hjelp av residualene fra en regresjon gjort hvor de y-variable observerte dataene og x-variabelen t Hvis en annen type trend er tilstede, en kvadratisk for eksempel, så kan en polynomisk regresjon brukes til å de-trene dataene før den estimerte spektral tettheten utforskes. Merk imidlertid at R-kommandoen imidlertid gjør s ikke utføre en de-trending som standard. Application of Smoothers til Raw Data. Note at smoothers beskrevet her kan også brukes på rå data Daniell kjernen og dens modifikasjoner er bare å flytte gjennomsnittlig eller vektet flytte gjennomsnittlig smoothers. Power Spectrum Estimation Methods Advanced Signal Processing Toolkit. En strømspektrum beskriver energidistribusjonen av en tidsserie i frekvensdomenet. Energi er en virkelig verdsatt mengde, slik at strømspektret ikke inneholder faseinformasjon. Fordi en tidsserie kan inneholde ikke-periodisk eller asynkront samplet periodiske signalkomponenter, er strømspektret til en tidsserie vanligvis ansett for å være en kontinuerlig funksjon av frekvens Når du bruker en rekke diskrete frekvensbakker til å representere kontinuerlig frekvens, er verdien ved en bestemt frekvensboks proporsjonal med frekvensintervallet til fjern avhengigheten av størrelsen på frekvensintervallet, kan du normalisere strømspekteret for å produsere effektspenningen ctral densitet PSD, som er effektspektrum dividert med størrelsen på frekvensintervallet. PSD måler signalet per båndbredde for en tidsserie i V 2 Hz, som implisitt forutsetter at PSD representerer et signal i volt som kjører en 1 ohm belastning Hvis PSD er representert i en decibel dB, er den tilsvarende enheten for PSD dB ref V sqrt Hz Hvis du vil bruke andre enheter for den estimerte PSD for en tidsserie, må du skala enheten av tidsseriene inn i passende tekniske enheter EU Etter at du har skalet enheten i tidsseriene, kan du få den tilsvarende enheten for den lineære PSD-verdien og dB PSD-verdien som EU 2 Hz og dB ref EU kvadrat Hz Bruk TSA-skalaen til EU VI til skala enheten for en tidsserier til passende EU. PSD estimeringsmetoder er klassifisert som følger. Parametriske metoder Disse metodene er basert på parametriske modeller av en tidsserie, for eksempel AR-modeller, bevegelige gjennomsnittlige MA-modeller og autoregressive bevegelige gjennomsnittlige ARMA-modeller ther Parametriske metoder er også kjent som modellbaserte metoder. For å estimere PSD av en tidsserie med parametriske metoder må du først oppnå modellparametrene i tidsserien. Du må bygge en passende modell som korrekt reflekterer oppførselen til system som genererer tidsserien ellers, kan den estimerte PSD kanskje ikke være pålitelig. MUSIC-metoden med flere signalklassifiseringer er også en modellbasert spektralestimeringsmetode. Parametriske metoder Disse metodene, som inkluderer periodogrammetoden Welch-metoden og Capon-metoden, er basert på den diskrete Fourier transformen Du trenger ikke å skaffe parametrene til tidsseriene før du bruker disse metodene. Den primære begrensningen av ikke-parametriske metoder er at beregningen bruker datavinduer som resulterer i forvrengning av de resulterende PSDene på grunn av vindueffekter. Nøkkelen fordelene ved ikke-parametrisk metoder er robustheten de estimerte PSDene ikke inneholder falske frekvenstopper. I kontrast parametrisk metode s bruker ikke datavinduer Parametriske metoder antar at et signal passer til en bestemt modell De estimerte PSDene kan inneholde falske frekvenstopper hvis den antatte modellen er feil PSD-estimater beregnet med parametriske metoder er mindre partisk og har lavere variasjon enn PSD estimert med nonparametriske metoder hvis antatt modell er korrekt Imidlertid er størrelsen på PSD som er estimert med parametriske metoder, vanligvis feil. Merknad Under spektralanalyse kan du gjennomsnittlige suksessive spektrummålinger for å redusere estimeringsvariasjon og forbedre måle nøyaktighet. Bruk TSA gjennomsnittlig PSD VI til å gjennomsnittsere estimert spektrum kontinuerlig.
No comments:
Post a Comment